Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n=lgx_n，则a₁+a₂+a₂+…+a₉₉₉的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,数列的求和

专题：导数的综合应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：由曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），知y′=（n+1）xⁿ，故f′（1）=n+1，则曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），该切线与x轴的交点的横坐标为x_n=

n

n+1

，故a_n=lgn-lg（n+1），由此能求出a₁+a₂+…+a₉₉．

解答： 解：∵曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴y′=（n+1）xⁿ，∴f′（1）=n+1，
∴曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），
该切线与x轴的交点的横坐标为x_n=

n

n+1

，
∵a_n=lgx_n，
∴a_n=lgn-lg（n+1），
∴a₁+a₂+…+a₉₉
=（lg1-lg2）+（lg2-lg3）+（lg3-lg4）+（lg4-lg5）+（lg5-lg6）+…+（lg99-lg100）
=lg1-lg100=-2．
故答案为：-2．

点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了对数的运算性质，是中档题．