Question

10．若集合A={（m，n）|（m+1）+（m+2）+…+（m+n）=10²⁰¹⁵，m∈N，n∈N^*}，则集合A中的元素个数是（　　）

• A． 2016
• B． 2017
• C． 2018
• D． 2019

Answer 1

分析 由等差数列的前n和公式得出（m+1）+（m+2）+…+（m+n）的和，问题转化为n（2m+n+1）=2×10²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶•5²⁰¹⁵，讨论n与（n+2m+1）的可能取值多少种情况，从而求出集合A中的元素有多少．

解答 解：由（m+1）+（m+2）+…+（m+n）=$\frac{[（m+1）+（m+n）]•n}{2}$知，
n（2m+n+1）=2×10²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶•5²⁰¹⁵；
又因为n，（n+2m+1）一奇一偶，
所以n是偶数时，n的取值为
2²⁰¹⁶，2²⁰¹⁶×5，2²⁰¹⁶×5²，…，2²⁰¹⁶×5²⁰¹⁵，共有2016个，
n是奇数时，m是偶数，同理得：
2²⁰¹⁶，2²⁰¹⁶×5，2²⁰¹⁶×5²，…，2²⁰¹⁶×5²⁰¹⁵，共有2016个，
所以，集合A中共有2016个元素．
故选：A．

点评 本题考查了集合的概念与应用问题，也考查了等差数列求和与整数奇偶性的应用问题，是难题．