Question

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{1}{2}$，过右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆所截得的弦长为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A，B两点分别为椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，记直线PA，PB的斜率分别为k_PA，k_PB，求k_PA•k_PB的值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式及通径公式，联立即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）根据直线的斜率公式，由y²=3（1-$\frac{{x}^{2}}{4}$），代入即可求得k_PA•k_PB的值．

解答 解：（1）由椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，则a²=2b²，
过右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆所截得的弦长为3，$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3，
解得：a²=4，b²=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）有A，B两点坐标为A（-2，0），B（2，0），
设P坐标为（x，y），则直线PA，PB斜率分别为k_PA=$\frac{y}{x+2}$，k_PA=$\frac{y}{x-2}$，
∴k_PA•k_PB=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}$，
又因为点P在椭圆C上，则y²=3（1-$\frac{{x}^{2}}{4}$），
∴k_PA•k_PB=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}$=$\frac{\frac{3（4-{x}^{2}）}{4}}{{x}^{2}-4}$=-$\frac{3}{4}$，

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．