题目内容
12．已知α＞0且a≠1，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x+3a-4，（x≤0）}\\{{a}^{x}，（x＞0）}\end{array}\right.$满足对任意实数x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）成立，则a的取值范围是（ ）| A． | $（1，\frac{5}{3}]$ | B． | （0，1） | C． | （1，+∞） | D． | $[\frac{5}{3}，2）$ |
分析 由题意可得（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＞0，可得f（x）在R上为增函数，运用单调性的定义可得a-1＞0，（a-1）•0+3a-4≤a0，解不等式即可得到所求范围．
解答 解：x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），可得
（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＞0，
由题意可得f（x）在R上为增函数，
当x≤0时，f（x）递增，即有a-1＞0，解得a＞1；
当x＞0时，f（x）递增，可得a＞1；
又f（x）为R上的增函数，可得（a-1）•0+3a-4≤a0，
解得a≤$\frac{5}{3}$．
综上可得，a的范围是1＜a≤$\frac{5}{3}$．
故选：A．
点评 本题考查函数的单调性的判断和运用，注意运用一次函数和指数函数的单调性，以及分界点的情况，考查运算能力，属于中档题和易错题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ | B． | $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ | C． | $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$ | D． | $\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$ |
李师傅在建材商店购买了三根外围直径都为10cm的钢管，为了便于携带，他将三根钢管用铁丝紧紧捆住，截面如图所示，则铁丝捆扎一圈的长度为30+10πcm．
