Question

7．已知函数f（x）为二次函数，若不等式f（x）＜0的解集为（-2，1）且f（0）=-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式$f（{cosθ}）≤\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）+msinθ$对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出二次函数的表达式，得到关于a，b，c的方程，解出即可求出函数的表达式；
（2）求出f（cosθ），问题转化为sin²θ+（1+m）sinθ+1≥0对θ∈R恒成立，令g（θ）=sin²θ+（1+m）sinθ+1，通过讨论对称轴的位置，从而求出g（θ）的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）为二次函数，
∴设f（x）=ax²+bx+c，
∵不等式f（x）＜0的解集为（-2，1）且f（0）=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{4a-2b-2=0}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²+x-2；
（2）由（1）得：f（cosθ）=cos²θ+cosθ-2，
∴由不等式$f（{cosθ}）≤\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）+msinθ$对θ∈R恒成立，
得：cos²θ+cosθ-2≤$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）+msinθ对θ∈R恒成立，
∴sin²θ+（1+m）sinθ+1≥0对θ∈R恒成立，
令g（θ）=sin²θ+（1+m）sinθ+1=${（sinθ+\frac{m+1}{2}）}^{2}$+1-$\frac{{（m+1）}^{2}}{4}$，
∵-1≤sinθ≤1，
∴①-1≤$\frac{m+1}{2}$≤1即-3≤m≤1时：
g_min（θ）=1-$\frac{{（m+1）}^{2}}{4}$≥0，
解得：-3≤m≤1，符合题意；
②$\frac{m+1}{2}$＜-1即m＜-3时：
g_min（θ）=${（1+\frac{m+1}{2}）}^{2}$+1-$\frac{{（m+1）}^{2}}{4}$＞0，
解得：m＞-3，无解；
③$\frac{m+1}{2}$＞1即m＞1时：
g_min（θ）=${（-1+\frac{m+1}{2}）}^{2}$+1-$\frac{{（m+1）}^{2}}{4}$＞0，
解得：m＜1，无解；
综上，满足条件的m的范围是[-3，1]．

点评 本题考查的知识点是待定系数法求二次函数的表达式，考察三角函数的最值，其中构造函数g（θ）=sos²θ+（1+m）sinθ+1，将问题转化为函数恒成立问题是解答本题的关键．