Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0，
（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于A、B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求m的值；
（3）在（2）的条件下，求以AB为直径的圆的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：

分析：（1）圆的方程化为标准方程，利用半径大于0，可得m的取值范围；
（2）直线方程与圆方程联立，利用韦达定理及OA⊥OB，建立方程，可求m的值；
（3）写出以AB为直径的圆的方程，代入条件可得结论．

解答： 解：（1）（x-1）²+（y-2）²=5-m，∴方程表示圆时，m＜5；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁=4-2y₁，x₂=4-2y₂，得x₁x₂=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂，
∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，
∴OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y=0，∴16-8（y₁+y₂）+5y₁y₂=0①，
由直线x+2y-4=0与圆消去x，得5y²-16y+m+8=0，
∴y₁+y₂=

16

5

，y₁y₂=

8+m

5

．
代入①得m=

8

5

； 
（3）以AB为直径的圆的方程为（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，
即x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0，
∴所求圆的方程为(x-

4

5

)2+(y-

8

5

)2=

16

5

．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．