Question

6．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ 2x+y≤2\end{array}\right.$，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为M，若M的取值范围是[1，2]，则点M（a，b）所经过的区域面积为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合分类求得最优解，把最优解的坐标代入目标函数，结合目标函数最大值的范围可得点M（a，b）的坐标所满足的关系式，进一步作差可行域，由梯形面积公式求解．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ 2x+y≤2\end{array}\right.$作出可行域如图，

A（1，0），B（0，2），
化目标函数z=ax+by为y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$．
由图可知，当$-\frac{a}{b}≤-2$，即a≥2b时，目标函数的最大值a∈[1，2]，此时有$\left\{\begin{array}{l}{a≥2b}\\{1≤a≤2}\\{b＞0}\end{array}\right.$①；
当-$\frac{a}{b}＞-2$，即a＜2b时，目标函数的最大值2b∈[1，2]，此时有$\left\{\begin{array}{l}{a＜2b}\\{\frac{1}{2}≤b≤1}\\{a＞0}\end{array}\right.$ ②．
作出①②表示的平面区域如图，

∴阴影部分的面积为$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+1）×1+\frac{1}{2}（1+2）×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题．