Question

1．如图，三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，CP⊥CD，M为PD的中点．
（1）求证：AM∥平面PBC；
（2）求证：平面BDP⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）取PC的中点N，连结MN，BN，则四边形ABNM是平行四边形，得出AM∥BN，故而AM∥平面PBC；
（2）由面面垂直得PC⊥BD，由等腰梯形的性质可得BD⊥BC，故而BD⊥平面PBC，于是平面BDP⊥平面PBC．

解答 证明：（1）取PC的中点N，连结MN，BN，
则MN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，又AB$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∴AM∥BN，又AM?平面PBC，BN?平面PBC，
∴AM∥平面PBC．
（2）∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，CD⊥PC，PC?平面PCD，
∴PC⊥平面ABCD，∵BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AD=AB=BC=$\frac{1}{2}$CD，
则cos∠BCD=$\frac{\frac{1}{2}（CD-AB）}{BC}$=$\frac{1}{2}$，即∠BCD=60°，
∴BD²=BC²+CD²-BC•CD=3BC²，∴BC²+BD²=CD²，
∴BD⊥BC，
又BC∩PC=C，BC?平面PBC，PC?平面PBC，
∴BD⊥平面PBC，又BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PBC．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质与判定，属于中档题．