Question

1．已知函数f（x）=log₃x+2，x∈[1，9]，求函数y=[f（x）]²十f（x²）的单调递增区间．

Answer 1

分析 将f（x）=2+log₃x代入y=[f（x）]²+f（x²）中，整理化简为关于log₃x的函数，利用换元法求单调区间，再根据复合函数即可得到函数的单调增区间．

解答 解：令log₃x=t，
∵x∈[1，9]，
∴t∈[0，2]，
∴f（t）=t+2，
∵y=[f（x）]²十f（x²），
∴y=（t+2）²+2t+2=t²+6t+6=（t+3）²-3，
∴函数在[0，2]上单调递增，
∵y=log₃x在[1，9]上为增函数，
∴函数y=[f（x）]²十f（x²）的单调递增区间为[1，9]．

点评 本题考查换元法求函数的单调区间，以及对数函数的单调性与特点，在使用换元法时，注意范围．