Question

4．已知函数f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和初相；
（2）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间（0，$\frac{5}{12}$π]上总有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性、初相，得出结论．
（2）由题意f（x）=log₂k∈[-$\frac{1}{2}$，1]，关于x的方程f（x）=log₂k 在区间（0，$\frac{5}{12}$π]上总有实数解，求得k的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2cosx（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的最小正周期为 $\frac{2π}{2}$=π，初相$\frac{π}{3}$．
（2）∵x∈（0，$\frac{5}{12}$π]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]．
根据f（x）=log₂k∈[-$\frac{1}{2}$，1]，关于x的方程f（x）=log₂k 在区间（0，$\frac{5}{12}$π]上总有实数解，
故-1≤log₂k≤$\frac{1}{2}$，求得$\frac{1}{2}$≤k≤$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、初相，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．