题目内容
在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2
•
=c2-（a+b）2．
（1）求角C的大小；
（2）求2
cos2
-sin（
-B）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．
| CA |
| CB |
（1）求角C的大小；
（2）求2
| 3 |
| A |
| 2 |
| 4π |
| 3 |
考点：余弦定理,平面向量数量积的运算
专题：解三角形
分析：（1）已知等式左边利用平面向量的数量积运算法则计算，右边利用完全平方公式展开，整理后利用余弦定理化简求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）由C的度数求出A+B的度数，用B表示出A，原式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用诱导公式化简后将表示出的A代入，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域确定出最大值，以及此时A与B的度数．
（2）由C的度数求出A+B的度数，用B表示出A，原式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用诱导公式化简后将表示出的A代入，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域确定出最大值，以及此时A与B的度数．
解答：
解：（1）由已知得：2abcosC=c2-a2-b2-2ab，
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得：4abcosC=-2ab，
∴cosC=-
，
∵C为三角形内角，
∴C=
；
（2）∵C=
，A+B+C=π，
∴A+B=
，即A=
-B，即0＜A＜
，
2
cos2
-sin（
-B）=2
•
+sin（
-B）=
+
cosA+sinA=
+2sin（A+
），
∵0＜A＜
，∴
＜A+
＜
，
当A+
=
，即A=
时，2
cos2
-sin（
-B）的最大值为2+
，此时B=
-A=
，
则2
cos2
-sin（
-B）的最大值为2+
，取得最大值时A=B=
．
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得：4abcosC=-2ab，
∴cosC=-
| 1 |
| 2 |
∵C为三角形内角，
∴C=
| 2π |
| 3 |
（2）∵C=
| 2π |
| 3 |
∴A+B=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
2
| 3 |
| A |
| 2 |
| 4π |
| 3 |
| 3 |
| 1+cosA |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵0＜A＜
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
当A+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| A |
| 2 |
| 4π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
则2
| 3 |
| A |
| 2 |
| 4π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
练习册系列答案
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