题目内容
下列命题中正确的是（ ）①若数列{an}是等差数列，且am+an=as+at（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；
②若Sn是等差数列{an}的前n项的和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列；
③若Sn是等比数列{an}的前n项的和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列；
④若Sn是等比数列{an}的前n项的和，且
；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零．A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
【答案】分析：①取数列{an}为常数列，即可推出该命题是假命题；
②根据等差数列的性质，推出2（S2n-Sn）=Sn+（S3n-S2n），即可得到Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…为等差数列；
③利用等比数列an=（-1）n，判断选项是否正确；
④根据数列的前n项的和减去第n-1项的和得到数列的第n项的通项公式，即可得到此等比数列的首项与公比，根据首项和公比，利用等比数列的前n项和的公式表示出前n项的和，即可得到结论．
解答：解：①取数列{an}为常数列，对任意m、n、s、t∈N*，都有am+an=as+at，故错；
②设等差数列an的首项为a1，公差为d，
则Sn=a1+a2+…+an，S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d，
同理：S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n-Sn+n2d，
∴2（S2n-Sn）=Sn+（S3n-S2n），
∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n是等差数列，此选项正确；
③设an=（-1）n，则S2=0，S4-S2=0，S6-S4=0，
∴此数列不是等比数列，此选项错；
④因为an=Sn-Sn-1=（Aqn+B）-（Aqn-1+B）=Aqn-Aqn-1=（Aq-1）×qn-1，
所以此数列为首项是Aq-1，公比为q的等比数列，则Sn=
，
所以B=
，A=-
，∴A+B=0，故正确；
故选C．
点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
②根据等差数列的性质，推出2（S2n-Sn）=Sn+（S3n-S2n），即可得到Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…为等差数列；
③利用等比数列an=（-1）n，判断选项是否正确；
④根据数列的前n项的和减去第n-1项的和得到数列的第n项的通项公式，即可得到此等比数列的首项与公比，根据首项和公比，利用等比数列的前n项和的公式表示出前n项的和，即可得到结论．
解答：解：①取数列{an}为常数列，对任意m、n、s、t∈N*，都有am+an=as+at，故错；
②设等差数列an的首项为a1，公差为d，
则Sn=a1+a2+…+an，S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d，
同理：S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n-Sn+n2d，
∴2（S2n-Sn）=Sn+（S3n-S2n），
∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n是等差数列，此选项正确；
③设an=（-1）n，则S2=0，S4-S2=0，S6-S4=0，
∴此数列不是等比数列，此选项错；
④因为an=Sn-Sn-1=（Aqn+B）-（Aqn-1+B）=Aqn-Aqn-1=（Aq-1）×qn-1，
所以此数列为首项是Aq-1，公比为q的等比数列，则Sn=
，所以B=
，A=-
，∴A+B=0，故正确；故选C．
点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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