Question

已知函数f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）（a＞0，且a≠1）．
（1）若1是函数y=f（x）-x的零点，求实数a的值；
（2）判断f（x）的奇偶性．

Answer 1

考点：函数的零点,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）运用log_a（2+1）-log_a（2-1）=1，解方程即可．（2）运用定义判断，先考虑函数的定义域，再运用f（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-f（x）得证．

解答： 解：函数f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）（a＞0，且a≠1）．
（1）∵1是函数y=f（x）-x的零点，
∴f（1）=1，
log_a（2+1）-log_a（2-1）=1，
log_a3=1，
∴a=3，
（2）f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x），

2+x＞0 2-x＞0

，
-2＜x＜2，
函数的定义为（-2，2）关于原点对称，
∵f（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-f（x），
∴f（x）为偶函数．

点评：本题考查了函数的性质，概念，属于容易题，难度不大．