Question

若f（x）=

3

cos²ωx-sinωxcosωx-

3

2

（ω＞0）的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．
（1）求ω和m的值；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若（

A

2

，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC外接圆的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，进而利用正弦函数的性质求得函数的ω和m的值．
（2）根据）（

A

2

，0）是函数f（x）图象的一个对称中心求得A的值，进而利用正弦定理求得外接圆的半径，则外接圆的面积可得．

解答： 解：（1）f（x）=

3

cos²ωx-sinωxcosωx-

3

2

=-sin（2ωx-

π

3

），
由题意，函数f（x）的周期为π，且最大值为m，
所以，ω=1，m=1．
（2）∵（

A

2

，0）是函数f（x）图象的一个对称中心
∴sin（A-

π

3

）=0，又因为A为△ABC的内角，所以A=

π

3

．
△ABC中，设外接圆半径为R，
则由正弦定理得：2R=

a

sinA

=

4

sin π 3

=

8 3

3

，即：R=

4 3

3

．
则△ABC的外接圆面积S=πR²=

16π

3

．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生分析问题和运算能力．