Question

设点P的坐标为（x₀，y₀），直线l的方程为Ax+By+C=0．请写出点P到直线l的距离，并加以证明．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：当A=0，则直线l的方程为y=-

C

B

，此时点P到直线l的距离为|y0+

C

B

|，易得结论是成立的；
当A≠0，则直线PH的斜率为

B

A

，方程为y-y0=

B

A

(x-x0)，与直线l的方程联立可得可解得交点坐标，由两点间的距离公式可得．

解答： 解：点P到直线l的距离公式为d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

证明：过点P作直线l的垂线，垂足为H．
若A=0，则直线l的方程为y=-

C

B

，此时点P到直线l的距离为|y0+

C

B

|，
而

|Ax0+By0+C|

A2+B2

=

|By0+C|

|B|

=|y0+

C

B

|，可知结论是成立的；
若A≠0，则直线PH的斜率为

B

A

，方程为y-y0=

B

A

(x-x0)，
与直线l的方程联立可得Ax+By0+

B2

A

(x-x0)+C=0
解得x=

B2x0-ABy0-AC

A2+B2

=x0-A

Ax0+By0+C

A2+B2

，y=y0-B

Ax0+By0+C

A2+B2

据两点间距离公式得d=

(A Ax0+By0+C A2+B2 )2+(B Ax0+By0+C A2+B2 )2

=|

Ax0+By0+C

A2+B2

|．
综上可得：点P到直线l的距离公式为d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

点评：本题考查点到直线的距离公式的证明，涉及分类讨论和两点间的距离公式，属中档题．