Question

已知曲线C₁：

x2

6

+

y2

3

=1，曲线C₂：x²=2py（p＞0），且C₁与C₂焦点之间的距离为2．
（1）求曲线C₂的方程；
（2）设C₁与C₂在第一象限的交点为A，过A斜率为k（k＞0）的直线l与C₁的另一个交点为B，过点A与l垂直的直线与C₂的另一个交点为C，问△ABC的外接圆的圆心能否在y上？若能，求出此时的圆心坐标；否则说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得

p

2

=

4-3

=1，由此能求出曲线C₂的方程．
（2）由

x2 6 + y2 3 =1 x2=4y

，解得A（2，1），直线l的方程为y-1=k（x-2），由

x2 6 + y2 3 =1 y-1=k(x-2)

，得xB=

2(2k2-2k-1)

2k2+1

，直线AC的方程为y-1=-

1

k

(x-2)，由

x2=4y y-1=- 1 k (x-2)

，得xC=-

2(k+2)

k

，由此推导出△ABC的外心不可能在y轴上．

解答： 解：（1）∵曲线C₁：

x2

6

+

y2

3

=1，曲线C₂：x²=2py（p＞0），
且C₁与C₂焦点之间的距离为2，
∴

p

2

=

4-3

=1，解得p=2，
∴曲线C₂的方程为x²=4y．
（2）由

x2 6 + y2 3 =1 x2=4y

，解得A（2，1），
由题意得直线l的方程为y-1=k（x-2），
由

x2 6 + y2 3 =1 y-1=k(x-2)

，得（2k²+1）x²+4k（1-2k）x+2（1-2k）²-6=0，
则x_Ax_B=

2(1-2k)2-6

2k2+1

，x_A+x_B=-

4k(1-2k)

2k2+1

，
∵x_A=2，∴xB=

2(2k2-2k-1)

2k2+1

，
直线AC的方程为y-1=-

1

k

(x-2)，
由

x2=4y y-1=- 1 k (x-2)

，得x2+

4

k

x-4-

8

k

=0，
∴xAxC=-4-

8

k

，xA+xC=-

4

k

，
∵x_A=2，∴xC=-

2(k+2)

k

，
∵△ABC为直角三角形，∴△ABC的外心为BC的中点M，
若M在y轴上，则x_M=0，即xM=

xB+xC

2

=0，
∴

xB+xC

2

=

2(2k2-2k-1)

2k2+1

-

2(k+2)

k

=0，
∴3k²+k+1=0，
△=1-12＜0，此方程无解，∴△ABC的外心不可能在y轴上．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查三角形的外接圆的圆心能否在y轴上的判断，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．