Question

3．设集合S={0，1，2，3，…，n}，则集合S中任意两个元素的差的绝对值的和为$\frac{1}{6}$n³+$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{3}$n．．

Answer 1

分析 设集合S中第k个元素，则其值为k-1．然后根据数列求和进行解答．

解答 解：设集合中第k个元素，则其值为k-1．
|（k-1）-k|+|（k-1）-（k+1）|+…+|（k-1）-n|
=1+2+…+（n+1-k）
=$\frac{（n+1-k）（n+1-k+1）}{2}$
T_n=$\frac{1}{2}$n²•n+$\frac{3}{2}$n•n+n-（1+2+…+n）n-$\frac{3}{2}$（1+2+…+n）+$\frac{1}{2}$（1²+2²+…+n²）=$\frac{n（n+1）（n+2）}{6}=\frac{1}{6}{n^3}+\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{3}n$．
故答案是：$\frac{1}{6}$n³+$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{3}$n．

点评 本题考查了等差数列，数列求和，难度较大．