Question

15．（1）已知集合A={x|y=$\sqrt{{x}^{2}-5x-14}$}，B={x|m+1≤x≤2m+1}．若A∪B=A，求实数m的取值范围；
（2）若函数y=f（x）的值域是[$\frac{1}{4}$，4]，求函数y=f（x）-2$\sqrt{f（x）}$的值域．

Answer 1

分析 （1）化简集合A，由A∪B=A可得B⊆A，分类讨论，即可求实数m的取值范围；
（2）利用换元、配方法，即可求函数y=f（x）-2$\sqrt{f（x）}$的值域．

解答 解：（1）A={x|x≥7或x≤-2}，由A∪B=A可得B⊆A．
①B=∅，2m+1＜m+1$\left\{\begin{array}{l}{2m+1≥m+1}\\{2m+1}\end{array}\right.$，∴m＜0；?
②B≠∅，$\left\{\begin{array}{l}{2m+1≥m+1}\\{2m+1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2m+1≥m+1}\\{m+1≥7}\end{array}\right.$，∴m≥6
综上m＜0或m≥6…（6分）   
（2）令$\sqrt{f（x）}$=t（t∈[$\frac{1}{2}$，2]），y=t²-2t=（t-1）²-1
∵t∈[$\frac{1}{2}$，2]，∴y∈[-1，0]．…（10分）

点评 本题考查集合的关系，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．