Question

5．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=-x+5上，求圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（3）若圆C上存在点M，使|MA|=|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）联立直线l与直线y=-x+5，求出方程组的解得到圆心C坐标，可得圆C的方程；
（2）根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；
（3）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$…（1分）    得圆心C为（3，2），…（2分）
∵圆C的半径为，∴圆C的方程为：（x-3）²+（y-2）²=1…（4分）
（2）由题意知切线的斜率一定存在，…（5分）（
设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0…（6分）
∴$\frac{|3k-2+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1…（7分）
∴2k（4k+3）=0
∴k=0或者k=-$\frac{3}{4}$…（8分）
∴所求圆C的切线方程为：y=3或y=-$\frac{3}{4}$x+3，即y=3或者3x+4y-12=0…（9分）
（3）设M为（x，y），由$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$…（11分）
整理得直线m：y=$\frac{3}{2}$…（12分）
∴点M应该既在圆C上又在直线m上，即：圆C和直线m有公共点
∴|2a-4-$\frac{3}{2}$|≤1，∴$\frac{9}{4}$≤a≤$\frac{13}{4}$…（13分）
综上所述，a的取值范围为：[$\frac{9}{4}$，$\frac{13}{4}$]…（14分）

点评 此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．