Question

6．求证：椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$与曲线$\frac{x^2}{25-k}+\frac{y^2}{9-k}=1$（k＜25且k≠9）有相同的焦点．

Answer 1

分析 分类讨论，求出曲线的焦点坐标，即可证明结论．

解答 证明：0＜k＜9时，曲线$\frac{x^2}{25-k}+\frac{y^2}{9-k}=1$为椭圆，c=$\sqrt{25-k-（9-k）}$=4，焦点坐标为（±4，0）；
9＜k＜25时，曲线$\frac{x^2}{25-k}+\frac{y^2}{9-k}=1$为焦点在x轴上的双曲线，c=$\sqrt{25-k+k-9}$=4，焦点坐标为（±4，0）；
∵椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点坐标为（±4，0），
∴椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$与曲线$\frac{x^2}{25-k}+\frac{y^2}{9-k}=1$（k＜25且k≠9）有相同的焦点．

点评 本题考查椭圆、双曲线的性质，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．