Question

如图，已知△ABC中，A=90°，B=30°，点P在BC上运动且满足

CP

=λ

CB

，当

PA

•

PC

取到最小值时，λ的值为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  5

• C、

  1

  6

• D、

  1

  8

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，建立直角坐标系．不妨设BC=4，P（x，0），则A(3，

3

)．（0≤x≤4）．可得

PA

•

PC

=(x-

7

2

)2-

1

4

．利用二次函数的单调性可得当x=

7

2

时，

PA

•

PC

取到最小值．利用

CP

=λ

CB

，即可解出．

解答： 解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设BC=4，P（x，0），则A(3，

3

)．（0≤x≤4）．
∴

PA

•

PC

=(3-x，

3

)•（4-x，0）
=（3-x）（4-x）
=x²-7x+12
=(x-

7

2

)2-

1

4

．
当x=

7

2

时，

PA

•

PC

取到最小值-

1

4

．
∴

CP

=λ

CB

，
∴(-

1

2

，0)=λ（-4，0），
∴-4λ=-

1

2

，
解得λ=

1

8

．
故选：D．

点评：本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．