Question

定义在R上的函数f（x），对任意的实数x都有f（x+2）=f（x+1）-f（x），且f（1）=lg3-lg2，f（2）=lg3+lg5，则f（2013）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由f（x+2）=f（x+1）-f（x），将x换成x-1、再将x换为x-1，将x换为x+3，得到f（x）为最小正周期是6的周期函数，从而f（2013）=f（6×335+3）=f（3），再由条件即可得到答案．

解答： 解：∵对任意x∈R，有f（x+2）=f（x+1）-f（x）①，
将x换成x-1得，f（x+1）=f（x）-f（x-1）②，
∴由①②得，f（x+2）=-f（x-1），
将x换为x-1，得，f（x+3）=-f（x），
再将x换为x+3，得f（x+6）=f（x），
即f（x）为最小正周期是6的周期函数，
∴f（2013）=f（6×335+3）=f（3）
=f（2）-f（1）=lg3+lg5-（lg3-lg2）
=lg5+lg2=lg10=1．
故答案为：1．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值和赋式是迅速解题的关键，考查函数的周期性及应用，属于中档题．