Question

设sinx+cosx=-

1

2

（其中x∈（0，π），则 sin2x=

 

； cos2x的值为

 

．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,二倍角的余弦

专题：三角函数的求值

分析：由sinx+cosx=-

1

2

，x∈（0，π），可得cosx＜0，sin2x=-

3

4

，继而有（sinx-cosx）²=1-sin2x=

7

4

，于是利用（sinx+cosx）（sinx-cosx）=-cos2x即可求得答案．

解答： 解：∵sinx+cosx=-

1

2

，x∈（0，π），
∴cosx＜0，且1+2sinxcosx=

1

4

，
∴sin2x=-

3

4

．
∴（sinx-cosx）²=1-sin2x=

7

4

，
∴sinx-cosx=

7

2

，与已知sinx+cosx=-

1

2

联立，
∴（sinx+cosx）（sinx-cosx）=-cos2x=-

1

2

×

7

2

=-

7

4

，
∴cos2x=

7

4

，
故答案为：-

3

4

；

7

4

．

点评：本题考查二倍角的正弦与余弦，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．