Question

数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和为S_n，满足S_n²=a_n（S_n-

1

2

）．
（1）求S_n的表达式；
（2）设b_n=

Sn

2n+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n，不等式T_n≥

1

18

（m²-5m）对所有的n∈N^*恒成立，求正整数m的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，代入利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”、一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：（1）∵S_n²=a_n（S_n-

1

2

）=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)．
化为

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴数列{

1

Sn

}是首项为

1

S1

=

1

a1

=1，公差为2的等差数列．
故

1

Sn

=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=

1

2n-1

．
（2）b_n=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
故T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)≥

1

3

．
又∵不等式T_n≥

1

18

（m²-5m）对所有的n∈N^*恒成立，
∴

1

3

≥

1

18

（m²-5m），
化简得：m²-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．
∴正整数m的最大值为6．

点评：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．