Question

四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，SA=AD=DC=2，AB=1．
（Ⅰ）求证：平面SAD⊥平面SCD；
（Ⅱ）求二面角S-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）M为SC中点，在四边形ABCD所在的平面内是否存在一点N，使得MN⊥平面SBD，若存在，求三角形ADN的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件得CD⊥AD，CD⊥SA，从而CD⊥平面SAD，由此能证明平面SAD⊥平面SCD．
（Ⅱ）以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角S-BC-D的余弦值．
（Ⅲ）假设存在点N满足条件，设N（x，y，0），利用向量法求出x=0，y=-1，所以存在点N，由此能求出三角形ADN的面积．

解答： （Ⅰ）证明：由已知条件得CD⊥AD，
又SA⊥平面ABCD，∴CD⊥SA，
∵SA∩AD=A，∴CD⊥平面SAD
∵CD?平面SCD，
∴平面SAD⊥平面SCD．
（Ⅱ）解：由已知条件知AD，AB，AS两两垂直，
以A为原点建立空间直角坐标系，A-xyz，
A（0，0，0），B（0，1，0），C（-2，2，0），D（-2，0，0），S（0，0，2），M（-1，1，1），
依条件知

AS

=（0，0，2）为平面ABCD的一个法向量，
设

n

=(x，y，z)是平面SBC的法向量，
∵

BS

=(0，-1，2)，

BC

=(-2，1，0)，
由

n • BS =-y+2z=0 n • BC =-2x+y=0

，令x=1，得

n

=（1，2，1），
设二面角S-BC-D的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

AS

，

n

＞|=|

2

2 6

|=

6

6

，
∴二面角S-BC-D的余弦值为

6

6

．
（Ⅲ）解：假设存在点N满足条件，设N（x，y，0），
∴

MN

=（x+1，y-1，-1），

BD

=(-2，-2，0)，

BS

=(0，-1，2)，
∴

MN • BD =-2(x+1)-(y-1)=0 MN • BS =0+(y-1)-2=0

，
解得x=0，y=-1，∴存在点N，满足条件
且S_△ADN=

1

2

×1×2=1．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．