Question

已知各项均大于1的数列{a_n}满足：a1=

3

2

，an+1=

1

2

(an+

1

an

)（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{log5

an+1

an-1

}是等比数列；
（Ⅱ）求证：

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜n+

1

2

(n∈N*)．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定,数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等比数列的定义证明数列{log5

an+1

an-1

}是等比数列；
（Ⅱ）先确定a_n=

52n-1+1

52n-1-1

，可得

an

an+1

=1+

2

52n-1+5-2n-1

＜1+

2

5n

，两边求和，即可证明结论．

解答： 证明：（Ⅰ）由题意，

an+1+1

an+1-1

=(

an+1

an-1

)2，
∴log₅

an+1+1

an+1-1

=2log₅

an+1

an-1

，
∴数列{log5

an+1

an-1

}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知log₅

an+1

an-1

=2^n-1，
∴

an+1

an-1

=52n-1，
∴a_n=

52n-1+1

52n-1-1

．
∴

an

an+1

=1+

2

52n-1+5-2n-1

＜1+

2

5n

两边求和可得，不等式左边＜n+

n

k=1

2

5k

=n+

1

2

（1-

1

5n

）＜n+

1

2

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．