Question

设函数f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），且

1

9

≤x≤9．
（1）求f（3）的值；
（2）若令t=log₃x，求实数t的取值范围；
（3）将y=f（x）表示成以t（t=log₃x）为自变量的函数，并由此求函数y=f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）根据解析式求解，（2）根据对数函数的单调性求解．（3）转化二次函数求解，g（t）=t²+3t+2，-2≤t≤2，

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），且

1

9

≤x≤9．
∴f（3）=log₃（9×3）•log₃（3×3）=3×2=6，
（2）令t=log₃x，
∵f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），且

1

9

≤x≤9．
∴log3

1

9

≤t（x）≤log₃9，
∴实数t的取值范围：-2≤t≤2，
（3）g（t）=t²+3t+2，-2≤t≤2，
对称轴t=-

3

2

，根据二次函数的性质可得：
g（-

3

2

）=-

1

4

，log3x=-

3

2

，x=

3

9

，
g（2）=12，log₃x=2，x=9
故函数y=f（x）的最大值12，x=9，最小值-

1

4

，x=

3

9

，

点评：本题考查了二次函数的性质，对数函数的性质，属于中档题．