Question

20．已知函数f（x）=a^|x|（a＞0，a≠1）在区间（-∞，0）上为增函数，且对任意x∈[m，m+1]，不等式f（x+m）≤f²（x）恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． m≤-$\frac{3}{2}$
• B． m≤-3
• C． m≤-$\frac{2}{3}$
• D． m≤-$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 根据函数f（x）=a^|x|（a＞0，a≠1）在区间（-∞，0）上为增函数，得到函数为偶函数，且0＜a＜1，求出函数f（x）的表达式，然后将不等式f（x+m）≤f²（x）化简，对m进行讨论，将x解出来，做到参数分离，由恒成立思想，即可求出m的范围．

解答 解：函数f（x）=a^|x|（a＞0，a≠1）在区间（-∞，0）上为增函数，
∴f（x）为R上的偶函数，且0＜a＜1，
∴f（x）=a^|x|（x∈R），
∵f（x+m）≤f²（x），
∴a^|x+m|≤a^|2x|，
∴|x+m|≥|2x|，即（3x+m）（x-m）≤0，当m≤0时，m≤x≤-$\frac{1}{3}$m，
由于对任意的x∈[m，m+l]，不等式f（x+m）≤f²（x）恒成立，
∴m≤m且m+1≤-$\frac{1}{3}$m，解得m≤-$\frac{3}{4}$；
当m＞0时，-$\frac{m}{3}$≤x≤m，
∴-$\frac{m}{3}$≤m，且m+1≤m，m无解，
综上可知，实数a的取值范围是：m≤-$\frac{3}{4}$；
故选：D．

点评 本题主要考查函数的奇偶性及运用，求出函数在定义域上的解析式是解题的关键，考查解决恒成立问题的常用方法：参数分离，必须掌握．