Question

12．如图，四边形ABCD为等腰梯形，PD⊥平面ABCD，F为PC的中点，CD=AD=PD，AB=4AE=2CD=4．
（1）求证：EF⊥PC；
（2）求点A到平面EDF的距离．

Answer 1

分析 （1）先证明DE⊥平面PCD，可得DE⊥PC，再证明PC⊥平面EFD，即可证明EF⊥PC；
（2）利用等体积法求点A到平面EDF的距离．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，CD=2，AB=4，AE=1，
∴DE⊥DC，
∵PD⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
∴PD⊥DE，
∵PD∩DC=D，
∴DE⊥平面PCD，
∴DE⊥PC，
∵PD=CD，F为PC的中点，
∴DF⊥PC，
∵DE∩DF=D，
∴PC⊥平面EFD，
∵EF?平面EFD，
∴EF⊥PC；
（2）解：△DEF中，DE=$\sqrt{3}$，DF=$\sqrt{2}$，DE⊥DF，∴S_△DEF=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
设点A到平面EDF的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•\sqrt{3}•1$=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{6}}{2}$h，
∴h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查点面距离，考查等体积法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．