Question

15．已知$\overrightarrow{OA}$=（sin$\frac{x}{3}$，$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{3}$），$\overrightarrow{OB}$=（cos$\frac{x}{3}$，cos$\frac{x}{3}$）（x∈R），f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$．
（1）求函数f（x）的解析式，并求图象的对称中心的横坐标；
（2）若x∈（0，π]，方程f（x）=a有两个不同的解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积公式和三角函数公式对f（x）化简，
（2）求出$\frac{2x}{3}$+$\frac{π}{3}$的范围，结合正弦函数图象得出a的范围．

解答 解：（1）f（x）=sin$\frac{x}{3}$cos$\frac{x}{3}$+$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{3}$=$\frac{1}{2}$sin$\frac{2x}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{2x}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（$\frac{2x}{3}$+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
令sin（$\frac{2x}{3}$+$\frac{π}{3}$）=0得$\frac{2x}{3}$+$\frac{π}{3}$=kπ，解得x=-$\frac{π}{2}$+$\frac{3kπ}{2}$．
∴f（x）图象的对称中心的横坐标为-$\frac{π}{2}$+$\frac{3kπ}{2}$，k∈Z．
（2）∵x∈（0，π]，∴$\frac{2x}{3}$+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，π]．
∵方程f（x）=a有两个不同的解，∴$\sqrt{3}$＜a＜1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数求值，及正弦函数的性质，属于中档题．