Question

13．符合以下性质的函数称为“S函数”：①定义域为R，②f（x）是奇函数，③f（x）＜a（常数a＞0），④f（x）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a的正数d，至少存在一个自变量x₀，使f（x₀）＞d．下列四个函数中${f_1}（x）=\frac{2a}{π}arctanx$，${f_2}（x）=\frac{ax|x|}{{{x^2}+1}}$，${f_3}（x）=\left\{{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{x}}&{x＞0}\\ 0&{x=0}\\{-a-\frac{1}{x}}&{x＜0}\end{array}}\right.$，${f_4}（x）=a•（{\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}}）$中“S函数”的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 逐个判断函数是否符合新定义的5个条件．

解答 解：（1）∵f₁（x）=$\frac{2a}{π}$arctanx的定义域为R，∵-$\frac{π}{2}$＜arctanx$＜\frac{π}{2}$，∴f₁（x）的值域为（-a，a），∵f₁（x）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴f₁（x）是S函数，
（2）f₂（x）=$\frac{ax|x|}{{x}^{2}+1}$的定义域为R，∵-1＜$\frac{x|x|}{{x}^{2}+1}$＜1，∴f₂（x）的值域是（-a，a），∵f₂（-x）=$\frac{-ax|x|}{{x}^{2}+1}$=-f₂（x），∴f₂（x）是奇函数，
当x＞0时，f₂（x）=$\frac{a{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$=a-$\frac{a}{{x}^{2}+1}$，∵a＞0，∴f₂（x）在（0，+∞）上是增函数．∴f₂（x）是S函数．
（3）由解析式可知f₃（x）的定义域为R，当x＞0时，a-$\frac{1}{x}$＜a，当x＜0时，-a-$\frac{1}{x}$＞-a，∴f₃（x）的值域是R，不符合条件③，∴f₃（x）不是S函数．
（4）f₄（x）的定义域为R，∵$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，2^x＞0，∴-1＜$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$＜1，∴f₄（x）的值域是（-a，a）．f₄（-x）=a•$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=a•$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f₄（x）．∴f₄（x）是奇函数．
∵f₄（x）=a（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），∴f₄（x）在（0，+∞）上是增函数．∴f₄（x）是S函数．
故选：C．

点评 本题考查了函数的定义域，奇偶性，值域，属于中档题．