Question

10．己知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-1），$\overrightarrow{b}$=（2sin（x+$\frac{π}{6}$），1），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的解析表达式；
（2）求f（x）的最小正周期；
（3）求f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由数量积和三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）由周期公式可得；
（3）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]可得三角函数函数的值域．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-1），$\overrightarrow{b}$=（2sin（x+$\frac{π}{6}$），1），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1=4cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）-1
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴f（x）的解析表达式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）由（1）可得f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（3）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∴函数的值域为：[-1，2]

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及数量积的运算，属基础题．