题目内容

四边形ABCD内接于椭圆
x2
16
+
y2
25
=1，其中A的横坐标为4，C的纵坐标为5，求四边形ABCD面积的最大值．
考点：椭圆的简单性质
专题：数形结合法,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：根据题意，画出图形，结合图形得出椭圆的内接四边形ABCD面积取最大值时，对角线BD过AC的中点M和原点O；
求出B、D点的坐标，从而求出点B、D到AC的距离，即可求出四边形ABCD的最大面积．
解答： 解：根据题意，画出图形，如图所示；
∵椭圆
x2
16
+
y2
25
=1，
∴A（4，0），C（0，5）；
由图形知，椭圆的内接四边形ABCD面积取最大值时，对角线BD过AC的中点M和原点O；
∵直线AC的方程是
x
4
+
y
5
=1，
点M（2，
5
2
），
∴直线BD的方程是y=
5
4
x；
∴
y=
5
4
x
25x2+16y2=400
，
解得
x=2
2
y=
5
2
2
，
x=-2
2
y=-
5
2
2
；
∴点B（2
2
，
5
2
2
）到直线AC的距离是d1=
|
1
4
×2
2
+
1
5
×
5
2
2
-1|
(
1
4
)2+(
1
5
)2
=
20(
2
-1)
41
；
同理，点D（-2
2
，
5
2
2
）到直线AC的距离是d2=
20(
2
+1)
41
；
∴四边形ABCD的最大面积为
S=S△ABC+S△ADC=
1
2
×|AC|d1+
1
2
×|AC|d2=
1
2
×
42+52
×（
20(
2
-1)
41
+
20(
2
+1)
41
）=20
2
．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应利用数形结合法，分析解题思路，从而写出解题过程，是综合性题目．
练习册系列答案
相关题目
已知sinα+cosα=-
1
5
（0＜α＜π）
（Ⅰ）求tanα；
（Ⅱ）求sin2α+sinαcosα-2cos2α的值．
复数z=（3m-2）+（m-1）i，m∈R．
（1）m为何值时，z是纯虚数？
（2）m取什么值时，z在复平面内对应的点位于第四象限？
已知椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
16
=1．
（Ⅰ）求椭圆C的长轴长及离心率；
（Ⅱ）已知直线l过（1，0），与椭圆C交于A，B两点，M为椭圆C的左顶点．是否存在直线l使得∠AMB=60°？如果有，求出直线l的方程；如果没有，请说明理由．
（文科做）已知函数f（x）=lnx+a，g（x）=ax，a∈R．
（1）若a=1，设函数F(x)=
f(x)
g(x)
，求F（x）的极大值；
（2）设函数G（x）=f（x）-g（x），讨论G（x）的单调性．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率e=
2
2
，A，B是椭圆上的两动点，动点P满足
OP
=
OA
+λ
OB
，（其中实数λ为常数）．
（1）求椭圆标准方程；
（2）当λ=1，且直线AB过F点且垂直于x轴时，求过A，B，P三点的外接圆方程；
（3）若直线OA与OB的斜率乘积kOA•kOB=-
1
2
，问是否存在常数λ，使得动点P满足PG+PQ=4，其中G（-
2
，0），Q（
2
，0），若存在求出λ的值，若不存在，请说明理由．
设f（x）=（1+x）n=C
 
0
n
+C
 
1
n
x+C
 
2
n
x2+…+C
 
n-1
n
xn-1+C
 
n
n
xn（n是正整数），利用赋值法解决下列问题：
（1）求S1=C
 
0
n
+C
 
1
n
+C
 
2
n
+…+C
 
n
n
；
（2）n为偶数时，求S2=C
 
1
n
+C
 
3
n
+C
 
5
n
+…+C
 
n-1
n
；
（3）n是3的倍数时，求S3=C
 
2
n
+C
 
5
n
+C
 
8
n
+…+C
 
n-1
n
．
设数列{an}的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10，设Tn是数列{
3
(lgan)(lgan+1)
}的前n项和，求使Tn＞
1
4
（m2-5m）对所有的n∈N成立的最大正整数m的值集合．
设数列{an}的前n项和为Sn=-n2，数列{bn}满足：b1=2，bn+1=3bn-t（n-1），已知an+1+bn+1=3（an+bn）对任意n∈N*都成立
（1）求t的值；
（2）设数列{an2+anbn}的前n项的和为Tn，问是否存在互不相等的正整数m，k，r，使得m，k，r成等差数列，且Tm+1，Tk+1，Tr+1成等比数列？若存在，求出m，k，r；若不存在，说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网