Question

16．当x∈[-1，2]时，不等式ax³-x²+2x-1＜0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-4）
• B． （-1，0）
• C． （-4，0）
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 分x=0，0＜x≤2，-1≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．

解答 解：当x=0时，不等式ax³-x²+2x-1＜0对任意a∈R恒成立；
当0＜x≤2时，ax³-x²+2x-1＜0可化为a＜$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，
令f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，
则f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{4}{{x}^{3}}$-$\frac{3}{{x}^{4}}$=$\frac{4x-3-{x}^{2}}{{x}^{4}}$=$\frac{-（x-3）（x-1）}{{x}^{4}}$，
当0＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1]上单调递减，
1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在（1，2）上单调递增，
f（x）_min=f（1）=0，∴a＜0；
当-1≤x＜0时，ax³-x²+2x-1＜0可化为a＞$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，
由f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，f′（x）=$\frac{-（x-3）（x-1）}{{x}^{4}}$，
当-1≤x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
f（x）_max=f（-1）=-2，∴a＞-4．
综上所述，实数a的取值范围是-4＜a＜0，
即实数a的取值范围是（-4，0）．
故选：C．

点评 本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取交集，是中档题．