Question

13．已知函数f（x）=a（x²-1）-lnx．
（1）若y=f（x）在x=2处取得极小值，求a的值；
（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）求证：当n≥2时，$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+…+\frac{1}{lnn}＞\frac{{3{n^2}-n-2}}{{2{n^2}+2n}}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到f′（2）=0，求出a的值，检验即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，结合题意确定a的范围即可；
（3）令a=$\frac{1}{2}$，∴当x=1时，$\frac{1}{lnx}＞\frac{2}{{{x^2}-1}}$，分别取x=2，3，4，…，n，累加即可．

解答 解：（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），$f'（x）=2ax-\frac{1}{x}$，
∵f（x）在x=2处取得极小值，∴f'（2）=0，即$a=\frac{1}{8}$，
此时，经验证x=2是f（x）的极小值点，故$a=\frac{1}{8}$．
（2）∵$f'（x）=2ax-\frac{1}{x}$，
①当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴当x＞1时，f（x）＜f（1）=0矛盾．
②当a＞0时，$f'（x）=\frac{{2a{x^2}-1}}{x}$，
令f'（x）＞0，得$x＞\frac{1}{{\sqrt{2a}}}$；f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{{\sqrt{2a}}}$．
（i）当$\frac{1}{{\sqrt{2a}}}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$时，
$x∈（1，\frac{1}{{\sqrt{2a}}}）$时，f'（x）＜0，即f（x）递减，
∴f（x）＜f（1）=0矛盾．
（ii）当$\frac{1}{{\sqrt{2a}}}≤1$，即$a≥\frac{1}{2}$时，
x∈[1，+∞）时，f'（x）＞0，即f（x）递增，
∴f（x）≥f（1）=0满足题意．
综上，$a≥\frac{1}{2}$．
（3）证明：由（2）知令$a=\frac{1}{2}$，
当x∈[1，+∞）时，$\frac{1}{2}（{x^2}-1）-lnx≥0$，（当且仅当x=1时取“=”）
∴当x=1时，$\frac{1}{lnx}＞\frac{2}{{{x^2}-1}}$．
即当x=2，3，4，…，n，有：
$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+…+\frac{1}{lnn}＞2（\frac{1}{{{2^2}-1}}+\frac{1}{{{3^2}-1}}+…+\frac{1}{{{n^2}-1}}）$
=$2（\frac{1}{1×3}+\frac{1}{2×4}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{（n-1）（n+1）}）$
=$（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{{3{n^2}-n-2}}{{2{n^2}+2n}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．