Question

8．已知经过点A（-4，0）的动直线l与抛物线G：x²=2py（p＞0）相交于B、C，当直线l的斜率是$\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$．
（Ⅰ）求抛物线G的方程；
（Ⅱ）设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出B，C的坐标，利用点斜式求得直线l的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，由$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$．根据求得y₂=4y₁，最后联立方程求得y₁，y₂和p，则抛物线的方程可得．
（2）设直线l的方程，AB中点坐标，把直线与抛物线方程联立，利用判别式求得k的范围，利用韦达定理表示出x₁+x₂，进而求得x₀，利用直线方程求得y₀，进而可表示出AB的中垂线的方程，求得其在y轴上的截距，根据k的范围确定b的范围．

解答 解：（Ⅰ）直线l的斜率是$\frac{1}{2}$时，直线BC的方程为：x=2y-4，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{x=2y-4}\end{array}\right.$，整理得：2y²-（8+p）y+8=0，
由韦达定理可知：y₁+y₂=$\frac{8+p}{2}$，y₁•y₂=4，
由$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$．则y₁=4y₂，
由p＞0，解得：y₁=1，y₂=4，
∴p=2，
∴抛物线G：x²=4y；
（Ⅱ）设l：y=k（x+4），BC中点坐标为（x₀，y₀）
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=k（x+4）}\end{array}\right.$，整理得：x²-4kx-16k=0，
∴由韦达定理可知：x₁+x₂=2k，则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2k．则y₀=k（x₀+4）=2k²+4k，
∴BC的中垂线方程为y-（2k²+4k）=-$\frac{1}{k}$（x-2k），
∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b=2k²+4k+2=2（k+1）²，
对于方程由△=16k²+64k＞0，解得：k＞0或k＜-4．
∴b的取值范围（2，+∞）．

点评 本题主要考查抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题．考查判别式和韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题．