Question

5．某人玩掷骰子（骰子是一个质地均匀的正方体，它的各面上分别标有点数字1、2、3、4、5、6）的游戏，每轮掷两次．第n轮掷出的点数依次为x_n，y_n．如果$\frac{2}{x_n}+\frac{2}{y_n}＜1（n=1，2，…）$，则认为第n轮游戏过关，游戏过关后，则游戏终止．如果某轮游戏不过关，则下一轮继续进行，直至过关后终止．
（Ⅰ）求游戏第一轮过关的概率；
（Ⅱ）如果游戏进行到第3轮，第3轮后不管游戏是否过关，都终止游戏．写出投掷轮数X的分布列，并求X的数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）x₁＞2，y₁＞2，由题意${x}_{1}＞\frac{2{y}_{1}}{{y}_{1}-2}$，由此进行分类讨论经，能求出游戏第一轮过关的概率．
（Ⅱ）设游戏第k轮后终止的概率为p_k（k=1，2，3），分别求出相应的概率，由能求出X的分布列和数学期望．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得：x₁＞2，y₁＞2，则由$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{y_1}＜1⇒\frac{2}{x_1}＜1-\frac{2}{y_1}=\frac{{{y_1}-2}}{y_1}⇒{x_1}＞\frac{{2{y_1}}}{{{y_1}-2}}$．…（1分）
当y₁=3时，x₁＞6，这样的x₁不存在；
当y₁=4时，x₁＞4⇒x₁=5、6；
当y₁=5时，${x_1}＞\frac{10}{3}⇒{x_1}=4、5、6$；
当y₁=6时，x₁＞3⇒x₁=4、5、6．
总之，这样的数组（x₁，y₁）的个数有8组．
因此，游戏第一轮过关的概率为$\frac{8}{6×6}=\frac{2}{9}$．
（Ⅱ）设游戏第k轮后终止的概率为p_k（k=1，2，3），
则${p_1}=\frac{2}{9}，{p_2}=（{1-\frac{2}{9}}）•\frac{2}{9}=\frac{14}{\;}，{p_3}=1-{p_1}-{p_2}=\frac{49}{81}$．…（10分）
故X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{14}{81}$	$\frac{49}{81}$

因此$EX=1×\frac{2}{9}+2×\frac{14}{81}+3×\frac{49}{81}=\frac{193}{81}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，历年高考中都是必考题型之一．