Question

13．已知函数f（x）的定义域为R，且为可导函数，若对?x∈R，总有（2-x）f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），则（　　）

• A． f（x）＞0恒成立
• B． f（x）＜0恒成立
• C． f（x）的最大值为0
• D． f（x）与0的大小关系不确定

Answer 1

分析 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最大值小于0，从而证出结论

解答 解：设g（x）=$\frac{{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$
∴g′（x）=$\frac{x[（2-x）f（x）+xf′（x）]}{{e}^{x}}$，
∵对?x∈R，总有（2-x）f（x）+xf′（x）＜0成立，
当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）递减
当x＜0时，g′（x）＞0，函数g（x）递增，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴$\frac{{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$＜0恒成立
∴f（x）＜0恒成立，
故选：B

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．