Question

2．已知曲线f（x）=x³-ax+b在点（1，0）处的切线方程为x-y-1=0．
（I）求实数a，b的值；
（II）求曲线y=f（x）在x=2处的切线与两坐标轴围成的三角形面积．

Answer 1

分析 （I）求出原函数的导函数，由曲线在x=1处的切线的斜率求得a，再由曲线和直线在x=1处的函数值相等求得b；
（II）求出曲线y=f（x）在x=2处的切线方程，即可求曲线y=f（x）在x=2处的切线与两坐标轴围成的三角形面积．

解答 解：（I）由f（x）=x³-ax+b，得y′=3x²-a，
由题意可知y′|_x=1=3-a=1，即a=2．
又当x=1时，y=0，
∴1³-1×2+b=0，即b=1．
（II）f（x）=x³-2x+1，f′（x）=3x²-2，
x=2时，f（2）=5，f′（2）=10，
∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y-5=10（x-2），即10x-y-15=0，
与两坐标轴的交点为（1.5，0），（0，-15），
∴切线与两坐标轴围成的三角形面积S=$\frac{1}{2}×1.5×15$=$\frac{45}{4}$．

点评 本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，在曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．