Question

4．设$f（x）={sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx-\frac{1}{2}（x∈R）$．
（1）求函数f（x）的最小正周期与值域；
（2）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，$a=2\sqrt{3}，c=4$，若f（A）=1，求A，b．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f （x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）（x∈R），利用正弦函数的性质即可求解．
（2）由题意可得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1．由A为锐角，可求2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函数的性质可求A的值，进而利用余弦定理解得b的值．

解答 （本题满分14分）
解：（1）化简得：f （x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）（x∈R），
所以最小正周期为π，值域为[-1，1]．…（7分）
（2）因为f （A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1．
因为A为锐角，
所以2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
所以2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
所以A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
得b²-4b+4=0．解得b=2．…（14分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，利用正弦函数的性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．