Question

已知数列{a_n}为等比数列，下面结论中正确的是（　　）

• A、a₁+a₃≥2a₂
• B、a₁²+a₃²≥2a₂²
• C、若a₁=a₃，则a₁=a₂
• D、若a₁＜a₃，则a₂＜a₄

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：a₁+a₃=

a2

q

+a2q，当且仅当a₂，q同为正时，a₁+a₃≥2a₂成立；a₁²+a₃²=(

a2

q

)2+(a2q)2≥2a22，所以a₁²+a₃²≥2a22；若a₁=a₃，则a₁=a₁q²，从而可知a₁=a₂或a₁=-a₂；若a₃＞a₁，则a₁q²＞a₁，而a₄-a₂=a₁q（q²-1），其正负由q的符号确定，故可得结论．

解答： 解：设等比数列的公比为q，则a₁+a₃=

a2

q

+a2q，当且仅当a₂，q同为正时，a₁+a₃≥2a₂成立，故A不正确；
a₁²+a₃²=(

a2

q

)2+(a2q)2≥2a22，∴a₁²+a₃²≥2a22，故B正确；
若a₁=a₃，则a₁=a₁q²，∴q²=1，∴q=±1，∴a₁=a₂或a₁=-a₂，故C不正确；
若a₃＞a₁，则a₁q²＞a₁，∴a₄-a₂=a₁q（q²-1），其正负由q的符号确定，故D不正确
故选B．

点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．