Question

16．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f（x）=$\frac{1}{20}$x⁵-$\frac{1}{12}$mx⁴-2x²在（1，3）上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{23}{9}$）
• B． [-3，$\frac{23}{9}$]
• C． [$\frac{23}{9}$，+∞）
• D． [-3，+∞）

Answer 1

分析 函数在区间（1，3）上为“凸函数”，所以f″（x）＜0，即对函数y=f（x）二次求导，分离参数，求参数的最值即可．

解答 解：由已知条件得f′（x）=$\frac{1}{4}$x⁴-$\frac{1}{3}$mx³-4x，则f″（x）=x³-mx²-3，
若f（x）为区间（-1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x³-mx²-4＜0在区间（1，3）上恒成立，
则m＞x-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
∵x-$\frac{4}{{x}^{2}}$在（1，3）上递增，
∴x-$\frac{4}{{x}^{2}}$＜3-$\frac{4}{9}$=$\frac{23}{9}$，
∴m≥$\frac{23}{9}$
故选：C．

点评 本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题