Question

11．已知曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线k：ρ（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）=12
（1）将直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；
（2）设点P在曲线C上，求点P到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1即可化为普通方程．利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把直线l：ρ（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）=12，化为直角坐标方程．
（2）设P$（3\sqrt{3}cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，则点P到直线l的距离d=$\frac{|3\sqrt{3}cosθ-3sinθ-12|}{2}$=$|3cos（θ+\frac{π}{6}）-6|$，利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为普通方程：$\frac{{x}^{2}}{27}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
直线l：ρ（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）=12，化为直角坐标方程：x-$\sqrt{3}$y-12=0．
（2）设P$（3\sqrt{3}cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，则点P到直线l的距离d=$\frac{|3\sqrt{3}cosθ-3sinθ-12|}{2}$=$\frac{|6cos（θ+\frac{π}{6}）-12|}{2}$=$|3cos（θ+\frac{π}{6}）-6|$≥3．
当$cos（θ+\frac{π}{6}）$=1时取等号．
∴点P到直线l的距离的最小值为3．

点评 本题考查了椭圆的参数方程、直线的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．