题目内容
4.函数f(x)=lg(ax-bx),常数a>1>b>0,则不等式f(x)>0的解集是(1,+∞)的充要条件是( )A. | a>b+1 | B. | a=b+1 | C. | a<b+1 | D. | a≥b+1 |
分析 由ax-bx>0,可得函数的定义域为(0,+∞),然后由定义法证函数为增函数,进而可得f(x)>f(1),只需f(1)>0,解之可得.
解答 解::由ax-bx>0,得($\frac{a}{b}$)x>1=($\frac{a}{b}$)0,由于($\frac{a}{b}$)>1,所以x>0,
故f(x)的定义域为(0,+∞),任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2
∴f(x1)=lg(ax1-bx1),f(x2)=lg(ax2-bx2)
而f(x1)-f(x2)=(ax1-bx1)-(ax2-bx2)=(ax1-ax2)+(bx2-bx1)
∵a>1>b>0,∴y=ax在R上为增函数,y=bx在R上为减函数,
∴ax1-ax2<0,bx2-bx1<0,∴(ax1-bx1)-(ax2-bx2)<0,即(ax1-bx1)<(ax2-bx2)
又∵y=lgx在(0,+∞)上为增函数,∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,
一方面,当a>b+1时,由f(x)>0可推得,f(x)的最小值大于0,
而当x∈(1,+∞),f(x)>0,故只需x∈(1,+∞);
另一方面,当a>b+1时,由f(x)在[0,+∞)上为增函数,
可知当x∈[1,+∞)时,有f(x)>f(1)>0,即f(x)取正值,
故当a>b+1时,f(x)取正值的充要条件是x∈(1,+∞),
故选:A.
点评 本题考查充要条件的判断,涉及函数定义域和单调性,属中档题.
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