Question

12．下列命题中，是假命题的是（　　）

• A． ?x₀∈R，sinx₀+cosx₀=$\sqrt{3}$
• B． ?x₀∈R，tanx₀=2016
• C． ?x＞0，x＞lnx
• D． ?x∈R，2^x＞0

Answer 1

分析 求出sinx+cosx的范围，可判断A；根据正切函数的图象和性质，可判断B；构造函数，求出最值，可判断C；根据指数函数的图象和性质，可判断D．

解答 解：sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，$\sqrt{3}$∉[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
故?x₀∈R，sinx₀+cosx₀=$\sqrt{3}$是假命题；
tanx∈R，故?x₀∈R，tanx₀=2016是真命题；
令f（x）=x-lnx，则f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数为减函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数为增函数，
故当x=1时，f（x）取最小值1，故f（x）=x-lnx≥1恒成立，
故?x＞0，x＞lnx是真命题；
指数函数的值域为（0，+∞），
?x∈R，2^x＞0是真命题；
故选：A．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的图象和性质，利用导数求最小值，指数函数的图象和性质，难度中档．