题目内容
已知a，b是实数，求证：a4-b4-2b2=1成立的充分条件是a2-b2=1，该条件是否为a4-b4-2b2=1成立的必要条件？证明你的结论．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断
专题：简易逻辑
分析：根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论．
解答：
证明：若a2-b2=1，则a4-b4-2b2=（a2-b2）（a2+b2）-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1成立．即a4-b4-2b2=1成立的充分条件是a2-b2=1．
若a4-b4-2b2=1，则a4-b4-2b2-1=0，
即a4-（b4+2b2+1）=0，
∴a4-（b2+1）2=0，
∴（a2+b2+1）（a2-b2-1）=0，
∵a2+b2+1≠0，
∴a2-b2-1=0，
即a2-b2=1成立．即a2-b2=1是否为a4-b4-2b2=1成立的必要条件．
综上：a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1．
若a4-b4-2b2=1，则a4-b4-2b2-1=0，
即a4-（b4+2b2+1）=0，
∴a4-（b2+1）2=0，
∴（a2+b2+1）（a2-b2-1）=0，
∵a2+b2+1≠0，
∴a2-b2-1=0，
即a2-b2=1成立．即a2-b2=1是否为a4-b4-2b2=1成立的必要条件．
综上：a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1．
点评：本题主要考查充要条件的应用，根据定义要分别证明充分性和必要性都要成立．
练习册系列答案
相关题目
“1＜m＜2”是“方程
+
=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
| x2 |
| m-1 |
| y2 |
| 3-m |
| A、充分不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |
已知函数f（x）=
，（其中a＞1），则f[f（a2）]=（ ）
|
| A、0 | B、1 |
| C、2 | D、loga2 |
已知全集U={0，1，2}，且∁UA={2}，则集合A等于（ ）
| A、{0} | B、{0，1} |
| C、{1} | D、∅ |