Question

对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数，若f（x）=lnx+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：对数函数的值域与最值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由于f（x）在定义域{x|x＞0} 内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g（e）=2+

1

e

，当x趋于0时，g（x）趋于-∞，当x趋于∞时，g（x）趋于2，因此当2＜k＜2+

1

e

时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=lnx+2x，定义域为{x|x＞0}，
f（x）在定义域为单调增函数，
因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，
即：lna+2a=ka，lnb+2b=kb，即a，b为方程lnx+2x=kx的两个不同根．
∴k=2+

lnx

x

，令 g（x）=2+

lnx

x

，g'（x）=

1-lnx

x2

，
当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）递减，当0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）递增，
可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=2+

1

e

，
当x趋于0时，g（x）趋于-∞，当x趋于∞时，g（x）趋于2，
因此当2＜k＜2+

1

e

 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，
方程 k=2+

lnx

x

有两个解．
故所求的k的取值范围为（2，2+

1

e

），
故答案为 （2，2+

1

e

）．

点评：本题主要考查利用导数求函数极值的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．