Question

已知函数f（x）=

2x-1

x+1

．
（1）确定f（x）在区间[3，5]上的单调性并利用定义证明；
（2）求f（x）在区间[3，5]上的最值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）f(x)=

2x-1

x+1

=2-

3

x+1

(x≠-1)，易判断其单调性，利用定义即可证明；
（2）由单调性可得函数最值；

解答： 解：（1）f(x)=

2x-1

x+1

=2-

3

x+1

(x≠-1)，f（x）在[3，5]上是单调增函数．
证明：?x₁，x₂∈[3，5]，
令△x=x₂-x₁＞0，△y=f(x2)-f(x1)=2-

3

x2+1

-(2-

3

x1+1

)=

3

x1+1

-

3

x2+1

=

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

＞0，
∴f（x）在[3，5]上是单调增函数；
（2）由（1）知f（x）在[3，5]上单调递增，
∴fmin(x)=f(3)=

5

4

，fmax(x)=f(5)=

3

2

．

点评：该题考查函数的单调性及其应用，考查函数的最值，属基础题．