Question

袋中有3只红球，2只白球，1只黑球．
（1）若从袋中有放回的抽取3次，每次抽取一只，求恰有两次取到红球的概率．
（2）若从袋中有放回的抽取3次，每次抽取一只，求抽全三种颜色球的概率．
（3）若从袋中不放回的抽取3次，每次抽取一只．设取到1只红球得2分，取到1    只白球得1分，取到1只黑球得0分，试求得分ξ的数学期望．
（4）若从袋中不放回的抽取，每次抽取一只．当取到红球时停止抽取，否则继续抽取，求抽取次数η的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率

专题：概率与统计

分析：（1）抽1次得到红球的概率为

1

2

，得白球的概率为

1

3

，得黑球的概率为

1

6

．由此能求出恰2次为红色球的概率．
（2）由抽1次得到红球的概率为

1

2

，得白球的概率为

1

3

，得黑球的概率为

1

6

，由此能求出抽全三种颜色球的概率．
（3）由已知得ξ=6，5，4，3，2，分别求出相应的概率，由此能求出求出得分ξ的数学期望．
（4）由已知得η=1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出求出抽取次数η的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）抽1次得到红球的概率为

1

2

，得白球的概率为

1

3

，得黑球的概率为

1

6

．
所以恰2次为红色球的概率为P1=

C

2 3

(

1

2

)2

1

2

=

3

8

…（2分）
（2）抽全三种颜色球的概率P2=(

1

2

×

1

3

×

1

6

)•

A

3 3

=

1

6

…（4分）
（3）ξ=6，5，4，3，2，
p(ξ=6)=

C 3 3

C 3 6

=

1

20

；
p(ξ=5)=

C 2 3 C 1 2

C 3 6

=

6

20

；
p(ξ=4)=

C 2 3 C 1 1 + C 1 3 C 2 2

C 3 6

=

6

20

；
 p(ξ=3)=

C 1 3 C 1 2 C 1 1

C 3 6

=

6

20

；
p(ξ=2)=

C 2 2 C 1 1

C 3 6

=

1

20

Eξ=6×

1

20

+5×

6

20

+4×

6

20

+3×

6

20

+2×

1

20

=4…（8分）
（4）η=1，2，3，4，
P(η=1)=

3

6

，
P(η=2)=

3

6

×

3

5

=

3

10

；
P(η=3)=

3

6

×

2

5

×

3

4

=

3

20

，
P(η=4)=

3

6

×

2

5

×

1

4

×

3

3

=

1

20

，
∴η的分布列是：

η	1	2	3	4
P	1 2	6 20	3 20	1 20

Eη=1×

1

2

+2×

6

20

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．