Question

8．已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=lnx-$\frac{a}{x}$有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，得到g（-a）＜0，求出a的范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域是{x|x＞0}，
f′（x）=lnx+1，（x＞0），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
则函数f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增；
（2）g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
a≥0时，g′（x）＞0恒成立，
函数g（x）是递增函数，不可能有2个零点，舍去；
a＜0时，令g′（x）＜0，则0＜x＜-a，
令f′（x）＞0，则x＞-a，
则函数g（x）在（0，-a）递减，在（-a，+∞）递增，
则函数g（x）有2个零点等价于在（0，+∞）的最小值是g（-a）＜0，
解得：-$\frac{1}{e}$＜a＜0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．